Question

13．如图，一次函数y₁=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数y₂=x的图象交于点M，点A的坐标为（6，0），点M的横坐标为2，过点P（a，0），作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和y=x的图象于点C、D．
（1）求一次函数y₁=kx+b的表达式；
（2）若点M是线段OD的中点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出M的坐标，然后将M与A的坐标代入y₁=kx+b中，即可求出k与b的值．
（2）根据条件先证明△MBO≌△MCD（ASA），由此可知OB=CD，分别求出OB与CD的长度即可求出a的值．

解答 解：（1）∵M的横坐标为2，点M在直线y=x上，
∴y=2，
∴M（2，2）
把M（2，2）、A（6，0）代入y₁=kx+b中，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴函数的表达式为：y₁=-$\frac{1}{2}$x+3
（2）∵PD⊥x轴，
∴PC∥OB
∴∠BOM=∠CDM，
∵点M是线段CD的中点，
∴MO=MD
在△MBO与△MCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CDM}\\{MO=MD}\\{∠BMO=∠CMD}\end{array}\right.$
∴△MBO≌△MCD（ASA）
∴OB=CD
当x=0时，
y₁=$\frac{1}{2}$x+3=3，
∴OB=2，
∴DC=3，
当x=a时，
y₁=-$\frac{1}{2}$x+3=3-$\frac{1}{2}$a，
∴y₂=x=a
即D（a，a），C（a，-$\frac{1}{2}$a+3）
∴DC=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=$\frac{3}{2}$a-3=3，
∴a=4，

点评 本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，一元一次方程的解法，题目较为综合．