Question

12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，求tan∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）先证明AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得∠OAC=∠OCA，由此即可证明．
（2）连接BM、OC交于点N，根据sin∠ABC=sin∠BCN=$\frac{4}{5}$=$\frac{BN}{BC}$，设BN=4k，BC=5k，则CN=3k，求出DM，BM，根据tan∠CDB=tan∠DBM=$\frac{DM}{BM}$即可解决问题．

解答 （1）证明：∵DC是⊙O切线，
∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB．
（2）解：连接BM、OC交于点N．
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，∵AD∥OC，
∴∠ONB=∠AMB=90°=∠CNB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴sin∠ABC=sin∠BCN=$\frac{4}{5}$=$\frac{BN}{BC}$，设BN=4k，BC=5k，则CN=3k，
∵∠CDM=∠DMN=∠DCN=90°，
∴四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=3k，MN=BN=4k，CD∥BM，
∴∠CDB=∠DBM，
∴tan∠CDB=tan∠DBM=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3k}{8k}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理的高知识，解题的关键是添加辅助线，构造特殊四边形矩形，学会设未知数解决问题，属于中考常考题型．