Question

3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是40cm．求：
（1）两条对角线AC、BD的长度；
（2）菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是40cm，可求得△ABO是含30°角的直角三角形，AB=10cm，继而求得AC与BD的长；
（2）由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$×180°=60°，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵菱形ABCD的周长是40cm．
∴AB=10cm，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=5cm，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴AC=2OA=10cm，BD=2OB=10$\sqrt{3}$cm；
（2）S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×10×10$\sqrt{3}$=50$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 此题考查了菱形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握菱形的各种性质以及勾股定理是解题关键．