Question

3．如图．已知⊙O中，△OMN是等腰三角形OB、OC分别交AC、DB于点M，N，求证：$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$．

Answer 1

分析 由SAS证明△OBN≌△OCM，得出∠BNO=∠CMO，∠OBN=∠OCM，再由等腰三角形的性质证出∠ACB=∠DBC，由圆周角定理得出$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，连接BC，证出MN∥BC，作OE⊥BC于E，则O、F、E三点共线，得出F为△OBC三条高的交点，因此OM⊥AC，由垂径定理得出$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，即可得出结论．

解答 证明：∵△OMN是等腰三角形，
∴OM=ON，
在△OBN和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}&{\;}\\{∠O=∠O}&{\;}\\{ON=OM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBN≌△OCM（SAS），
∴∠BNO=∠CMO，∠OBN=∠OCM，
∵OA=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
连接BC，如图所示：
∵OM=ON，OB=OC，
∴OM：OB=ON：OC，
∴MN∥BC，
作OE⊥BC于E，则O、F、E三点共线，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴F为△OBC三条高的交点，
∴OM⊥AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、平行线的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线才能得出结论．