Question

6．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，AC=2，BC=4，E为直径AB上一动点（不与点A、B重合），CE延长线交⊙O于D，PC⊥CD交DB延长线于点P．
（1）求证：△ABC∽△DPC；
（2）当CD⊥AB时，求CP的长；
（3）CP长是否存在最大值？若存在，求出CP的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得出∠A=∠D，∠ACB=∠DCP，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形面积求出CE的长，进而求出CP的长；
（3）利用当CD最大时，CP也就最大，CD最大时为直径，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PC⊥CD，
∴∠DCP=90°，
∴∠ACB=∠DCP，
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DPC；

（2）解：在Rt△ACB中，
∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，且CD⊥AB，
∴CE=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴CD=2CE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵由（1）已证△ABC∽△DPC，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{CB}{CP}$，
∴$\frac{2}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{4}{CP}$，
解得：CP=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$；

（3）解：存在，
由（1）已证△ABC∽△DPC，且$\frac{AC}{CD}$=$\frac{CB}{CP}$，
即CP=$\frac{CB•CD}{AC}$=$\frac{4}{2}$CD=2CD，
∵当CD最大时，CP也就最大，CD最大时为直径，
∴当CD=AB=2$\sqrt{5}$时，CP最大值=2CD=4$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．