在平面直角坐标系中.一次函数y=-2x+2与y轴交于点A.与x轴交于点C.现把线段AC绕着点C顺时针方向旋转90°.得到线段BC.抛物线y=ax2-ax-2刚好经过点B．(1)求点B的坐标,(2)求抛物线的解析式,(3)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当直线l移动到何处时.恰好将△ABC的面积分为1:2的两部分?(4)在抛物线上是否存在点P.使△ACP是以AC为直角边的等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点C，现把线段AC绕着点C顺时针方向旋转90°，得到线段BC，抛物线y=ax²-ax-2刚好经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）平移该抛物线的对称轴所在直线l，当直线l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分？
（4）在抛物线上是否存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S_△CEF=

S_△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（4）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，去分析则可求得答案．

解答：

解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BCD=∠CAO

∠BDC=∠COA=90°

BC=AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∵一次函数y=-2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点C，

∴A点的坐标为（0，2）C点的坐标为（1，0），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=

．
∴S_△ABC=

AB²=

．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b=2

3k+b=1

，
解得k=-

，b=2，
∴y=-

x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=

．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（-

x+2）-（

）=

x．
△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：S_△CEF=

S_△ABC，
即：

EF•h=

S_△ABC，
∴

（

x）•（3-x）=

，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-

或x=3+

（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3-

时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）∵抛物线y=ax²-ax-2过点B（3，1），

∴1=9a-3a-2，
解得：a=

，
∴抛物线的解析式为y=

x²-

x-2；

（4）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图（1），
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，
∴P₁（-1，-1），经检验点P₁在抛物线y=

x²-

x-2上；