题目内容
12．
如图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数y=$\frac{1}{4}$x2的图象交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E．（Ⅰ）当A点的横坐标是-1时，证明AM=AE；
（Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求OC•OD+AC•BD的值；
（Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
分析 （1）根据A点的横坐标是-1求出A点坐标，再由M（0，1）得出AE的长，根据勾股定理求出AM的长，进而可得出结论；
（2）令A（xA，yA），B（xB，yB），令直线AB的函数表达式为y=kx+1，再由根与系数的关系即可得出结论；
（3）令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知xA•xB=-4，xA+xB=4k，且yA=kxA+1，yB=kxB+1，由梯形的中位线定理得出PQ的长，再由勾股定理即可得出结论．
解答 
（Ⅰ）证明：∵A点的横坐标是-1，
∴A（-1，$\frac{1}{4}$）．
又∵M（0，1），
∴AE=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$．
在Rt△ACM中，
∵AM=$\sqrt{{AC}^{2}+{MC}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（1-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
∴AM=AE=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）解：令A（xA，yA），B（xB，yB），令直线AB的函数表达式为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4}{x}^{2}\\ y=kx+1\end{array}\right.$可得x2-4kx-4=0．
此方程之两根为A、B两点的横坐标xA，xB，
且xA•xB=-4，xA+xB=4k．
故OC•OD+AC•BD=yAyB-xAxB=$\frac{1}{16}$（xAxB）2-xAxB=1+4=5．
（Ⅲ）解：如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（Ⅱ）知xA•xB=-4，
xA+xB=4k，且yA=kxA+1，yB=kxB+1．
∵PQ是梯形AEFB的中位线，
∴PQ=$\frac{AE+BF}{2}$=$\frac{{（y}_{A}+1）+（{y}_{B}+1）}{2}$=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$+1=$\frac{k（{x}_{A}+{x}_{B}）}{2}$+2=2（k2+1）．
在Rt△ACM中可得：
AM=$\sqrt{{AC}^{2}+{MC}^{2}}$=$\sqrt{{x}_{A}^{2}+（1-{y}_{A}）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{A}^{2}+{k}^{2}{x}_{A}^{2}}$=-xA•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
同理，在Rt△BDM中，
∵BM=xB•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
∴AB=AM+BM=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•（xB-xA），
∴AB2=（1+k2）[（xA+xB）2-4xAxB]=（1+k2）（16k2+16），
∴AB=4（1+k2），PQ=$\frac{1}{2}$AB．
∵PQ⊥l，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．
点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到根与系数的关系、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，在解答（III）时要注意利用数形结合求解．
如图，点P到直线l的距离是1.8cm．（填入具体数值）
如图，两直线l1：y=-x+4、l2：y=2x+1相交于点P，与x轴分别相交于A、B两点．
小明从A地出发，途中经过C地，后到达B地，到达B地后，立即原路返回，他距A地的距离S（千米）和所用时间t（小时）之间的函数关系如图所示，若小明前后两次经过点C时间相差2$\frac{1}{3}$小时，那么A、C两地之间距离为140千米．