Question

4．已知平行四边形ABCD的面积为60cm²，点P是其内部一点，连接PA，PB，PC，PD，将平行四边形分成四个三角形，其面积分别记为如图所示的S₁、S₂、S₃、S₄．如果过P点分别做上述四个三角形的高，你会发现S₁、S₂、S₃、S₄满足S₁+S₃=S₂+S₄，请应用这个结论解决下列问题：

（1）若S₂=2S₁，S₃=3S₄，求S₁+S₂的值．
（2）在（1）的条件下，连接AC、BD，求三角形PBD与三角形PAC的面积和．

Answer 1

分析 （1）过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，由于△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，得到此时两三角形的高的和为AD与BC的距离，根据三角形面积的求法得到S₂+S₄=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=30，同理可得出S₁+S₃=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=30，然后根据数量之间的关系即可得到结果；
（2）由（1）知S₁=12，S₂=24，求得S₃=30-12=18，S₄=30-24=6，然后根据各图形之间的关系即可得到结果．

解答 解：（1）如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AD与BC的距离，∴S₂+S₄=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=30，
同理可得出S₁+S₃=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=30，
∴S₂=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}-S₄=30-S₄，
∵S₂=2S₁，S₃=3S₄，
∴S₁+S₃=S₁+3S₄=S₁+3（30-S₂）=S₁+3（30-2S₁）=30，
∴S₁=12，
∴S₂=24，
∴S₁+S₂=36；

（2）由（1）知S₁=12，S₂=24，
∴S₃=30-12=18，S₄=30-24=6，
∴S_△PBD+S_△PAC
=S_△BDC-S₁-S₄+S_△ABC-S₃-S₄
=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}-S₁-S₄+$\frac{1}{2}$_{四边形ABCD}-S₃-S₄
=18．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积求法，正确的识别图形是解题的关键．