Question

4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是6步．

Answer 1

分析 设三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r可求得半径，则可求得直径．

解答 解：
设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=15，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{5}^{2}}$=17，
设内切圆的半径为r，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，即$\frac{1}{2}$×8×15=$\frac{1}{2}$×（8+15+17）•r，
解得r=3，
∴内切圆的直径是6步，
故答案为：6．

点评 本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．