Question

已知凸四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AC平分∠BAD，过C作AB的垂线交AB于E，求证：AE=

1

2

（AB+AD）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：几何图形问题,证明题

分析：过C作CM⊥AD于M，证△MAC≌△EAC，推出AM=AE，证Rt△DMC≌Rt△BEC，推出BE=DM，求出AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，即可得出答案．

解答：
证明：过C作CM⊥AD于M，
∵CE⊥AB，
∴∠M=∠CEB=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+°，
∴∠B=∠MDC，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，
∴CM=CE，∠MAC=∠EAC，
在△MAC和△EAC中，

∠MAC=∠EAC ∠M=∠AEC=90° AC=AC

，
∴△MAC≌△EAC（AAS），
∴AM=AE，
∵∠M=∠BEC=90°，
∴在Rt△DMC和Rt△BEC中

CD=BC CM=CE

∴Rt△DMC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DM，
∴AB+AD
=AE+BE+AD
=AE+DM+AD
=2AM
=2AE，
即AE=

1

2

（AB+AD）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，题目比较好，难度适中．