Question

1．已知：x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，求下列各式的值：
（1）x²+2xy+y²；
（2）x²-y²；
（3）x²+y²．

Answer 1

分析 （1）先化简x、y的值，然后代入x²+2xy+y²，从而可以解答本题；
（2）先化简x、y的值，然后代入x²-y²，从而可以解答本题；
（3）先化简x、y的值，然后代入x²+y²，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+1$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$，
x²+2xy+y²
=（x+y）²
=（$\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1$）²
=8；
（2）∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+1$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$，
∴x²-y²
=（x+y）（x-y）
=（$\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1$）（$\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1$）
=$2\sqrt{2}$×2
=4$\sqrt{2}$；
（3）∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+1$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$，
∴x²+y²
=$（\sqrt{2}+1）^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}$
=$3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}$
=6．

点评 本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．