Question

6．已知关于x的方程式：x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m（m+2）=0（m为常数）．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解这个方程；
（3）设这个方程的两个根分别为x₁、x₂，①求证：|x₁-x₂|=1；②若x₁•x₂=6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）利用求根公式即可解得结果；
（3）利用根与系数的关系和完全平方公式可得结果．

解答 （1）证明：∵△=[-（m+1）]²-4×$1×\frac{1}{4}$m（m+2）
=1＞0，
∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：x=$\frac{-[-（m+1）]±\sqrt{△}}{2×1}$=$\frac{m+1±1}{2}$，
${x}_{1}=\frac{m+2}{2}$，x₂=$\frac{m}{2}$；

（3）x₁+x₂=m+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$m（m+2）
①证明：∵x₁-x₂=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂
=（m+1）²-4×$\frac{1}{4}$m（m+2）
=1，
∴|x₁-x₂|=1；
②解：∵x₁•x₂=6，
∴$\frac{1}{4}$m（m+2）=6，
整理得，m²+2m-24=0，
解得：m=-6或m=4．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式．关键是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．