Question

9．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，MC=NC，求证：△AMN是等边三角形．

Answer 1

分析 连接AC，可通过HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC得到BC=DC，再通过HL证明Rt△MBC≌Rt△NDC得到BM=DN，再根据等量关系得到AM=AN，再根据等边三角形的判定即可证明．

解答 证明：连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC=DC，
在Rt△MBC≌与Rt△NDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MBC≌Rt△NDC（HL），
∴BM=DN，
∵AB=AD，
∴AM=AN，
∵∠BAD=60°，
∴△AMN是等边三角形．

点评 考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定与性质得到AM=AN．