Question

12．圆的内接等腰三角形ABC，圆的半径为10，如果底边BC的长为16，那么△ABC的面积为32或128．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=8，即AD垂直平分BC，根据垂径定理得到圆心O在AD上；连结OD，在Rt△OBC中利用勾股定理计算出OD=6，然后分类讨论：当△ABC为锐角三角形时，AD=OA+OD=16；当△ABC为钝角三角形时，AD=OA-OD=4，再根据三角形面积公式分别进行计算．

解答 解：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴AD垂直平分BC，
∴圆心O在AD上，连结OB，
在Rt△OBC中，∵BD=8，OB=10，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=6，
当△ABC为锐角三角形时，AD=OA+OD=10+6=16，此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$×16×16=128；
当△ABC为钝角三角形时，AD=OA-OD=10-6=4，此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$×16×4=32．
故答案为：32或128．

点评 本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．