Question

2．如图，已知A（-5，0）、B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BOC是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）分两种情况考虑：①当点P在点B右侧时，如图2，②当点P在点B左侧时，如图3，分别求解即可；
（3）若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，分别求解即可；

解答 解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=$\sqrt{3}$，此时t=4+$\sqrt{3}$；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3 $\sqrt{3}$，
此时，t=4+3 $\sqrt{3}$，
∴t的值为4+$\sqrt{3}$或4+3 $\sqrt{3}$；

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，

从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；

③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，

∴点A为切点，如图4，PC²=PA²=（9-t）²，PO²=（t-4）²，
于是（9-t）²=（t-4）²+3²，即81-18t+t²=t²-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．

点评 此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．