Question

【题目】(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D.E证明：DE=BD+CE.

(2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A.E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，请问结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请你给证明：若不存在，请说明理由。

(3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，D. A.E三点都在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，只出现m与BC的延长线交于点F，若BD=5，DE=7，EF=2CE，求△ABD与△ABF的面积之比。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2：9

【解析】

（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明即可；

（2）根据三角形内角和定理证明∠CAE=∠ABD，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明即可；

（3）根据（2）的结论求出AE、AD、EF，根据三角形的面积公式计算即可.

（1）证明：∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵CE⊥直线m

∴∠ACE+∠CAE=90°

∴∠BAD=∠ACE

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（2）结论DE=BD+CE成立

证明：∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠BAD，

∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE= AE+ AD =BD+CE

（3）由（2）得，△ABD≌△CAE

∴AE=BD=5，

∴AD=DE﹣AE=2

∴EF=2CE=4

∴△ABD与△ABF的面积之比=AD：AF=2：9