Question

在△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC上，BD=CD=EC=1，求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：过点D作DF⊥BC于点F由BD=CD可知DF为BC的垂直平分线，故BC=2FC，再由相似三角形的判定定理得出△DFC∽△BAC，△DFC∽△AEC，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答：解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD=CD，
∴DF为BC的垂直平分线，
∴BC=2FC．
∵∠C=∠C，∠DFC=∠BAC=90°，
∴△DFC∽△BAC，
∴

FC

AC

=

DC

BC

，即

FC

AC

=

1

2

FC，
∴2FC²=AC①，
∵∠C=∠C，∠DFC=∠AEC=90°，
∴△DFC∽△AEC，
∴

FC

EC

=

DC

AC

，即

FC

1

=

1

AC

，
∴FC=

1

AC

②，
把②代入①得2×（

1

AC

）²=AC，即AC³=2，AC=

3	2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．