如图.将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C处.两直角边分别与x.y轴平行.纸板的另两个顶点A.B恰好是直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{4}{x}$的交点．(1)求k和b的值,(2)设双曲线y=$\frac{4}{x}$在A.B之间的部分为L.让一把含45°的三角尺的直角顶点P在L上滑动.两直角边始终与坐标轴平行.且与线段AB交于M.N两点.请探究是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，$\frac{1}{2}$）处，两直角边分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A，B恰好是直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{4}{x}$的交点．
（1）求k和b的值；
（2）设双曲线y=$\frac{4}{x}$在A，B之间的部分为L，让一把含45°的三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN=$\frac{1}{2}$AB，写出你的探究过程和结论；
（3）在（2）的条件下，△MPN 的面积是否存在最大值？若有，请求出面积最大值及点P的坐标；若没有，请说明理由．

分析（1）先得到A点的横坐标为1，B点的纵坐标为$\frac{1}{2}$，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出A（1，4），B（8，$\frac{1}{2}$），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到k、b的值；
（2）假设存在点P使得MN=$\frac{1}{2}$AB，直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，先证明Rt△PMN∽Rt△CAB得到$\frac{PM}{AC}$=$\frac{PN}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设P（x，$\frac{4}{x}$），（1≤x≤8），则M（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$），则MP=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$，所以2（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$）=$\frac{7}{2}$，整理得2x²-11x+16=0，根据判别式的意义判断方程没有实数解，所以不存在点P使得MN=$\frac{1}{2}$AB；
（3）利用Rt△PMN∽Rt△CAB得到$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-\frac{4}{x}}{\frac{7}{2}}$）²，而S_△ABC=$\frac{49}{4}$，所以S_△PMN=（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{4}{x}$）²，利用不等式公式得$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{2}$，所以当x=2$\sqrt{2}$时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$有最小值，此时S_△PMN有最大值，然后把当x=2$\sqrt{2}$代入计算即可得到S_△PMN的最大值=$\frac{113-72\sqrt{2}}{4}$，此时P点坐标为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

解答解：（1）∵AC∥y轴，BC∥x轴，
而C（1，$\frac{1}{2}$），
∴A点的横坐标为1，B点的纵坐标为$\frac{1}{2}$，
∵点A、B在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，
∴A（1，4），B（8，$\frac{1}{2}$），
∵点A，B在直线y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{8k+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$；
（2）不存在点P使得MN=$\frac{1}{2}$AB．理由如下：
假设存在点P使得MN=$\frac{1}{2}$AB，直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∵PM∥y轴，AC∥y轴，
∴PM∥AC，
∴∠PMN=∠BAC，
∴Rt△PMN∽Rt△CAB，
∴$\frac{PM}{AC}$=$\frac{PN}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
设P（x，$\frac{4}{x}$），（1≤x≤8），则M（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$），
∴MP=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$，
∵AC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴2（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$）=$\frac{7}{2}$，
整理得2x²-11x+16=0，
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0
∴方程没有实数解，
∴不存在点P使得MN=$\frac{1}{2}$AB；
（3）△MPN 的面积存在最大值．
∵Rt△PMN∽Rt△CAB，
∴$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PM}{AC}$）²=（$\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-\frac{4}{x}}{\frac{7}{2}}$）²，
而S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{2}$•（8-1）=$\frac{49}{4}$，
∴S_△PMN=（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{4}{x}$）²，
∵$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}x•\frac{4}{x}}$，即$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{2}$，
∴当$\frac{1}{2}$x=$\frac{4}{x}$时，即x=2$\sqrt{2}$时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$有最小值，
此时S_△PMN有最大值，
当x=2$\sqrt{2}$时，S_△PMN的最大值=$\frac{113-72\sqrt{2}}{4}$，此时P点坐标为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似三角形的性质求线段和三角形的面积；记住不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b为正数，当a=b时取等号）．

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