Question

4．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD⊥AB，垂足为点D，CF⊥AF，且CF=CD，AF交⊙O于点E，BE交AC于点M．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）试探究CD、AF、BD之间的数量关系；并证明你的结论．
（3）若AB=6，cos∠BCD=$\frac{5}{6}$，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC根据角平分线性质得出∠FAC=∠BAC，根据垂径定理得出OC⊥BE，求出∠CFE=∠FEB=∠ENC=90°，求出∠OCF=90°，根据切线判定推出即可．
（2）由“HL“定理证得Rt△ACF≌Rt△ACD，得到AF=AD，由射影定理即可证得结论；
（3）求出AC和BC，证△BCM和△CAB相似，得出比例式，求出CM，即可得出答案．

解答 （1）证明：
连接OC交BE于N，
∵CF⊥AF，CD⊥AB，CF=CD，
∴∠FAC=∠DAC，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥BE，
∵AB是直径，
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°，
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°，
即OC⊥CF，
∵OC为半径，
∴CF是⊙O的切线．

（2）CD²=AF•BD；
证明：在Rt△ACF和Rt△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△ACD，
∴AF=AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由射影定理得：CD²=AD•BD，
∴CD²=AF•BD；

（3）解：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，∠BCD+∠CBA=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∵AB=6，cos∠BCD=$\frac{5}{6}$，
∴cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∴AC=5，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{6}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵弧CE=弧BC，
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB，
即∠CBM=∠CAB，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CBM，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CM}{BC}$，
∵BC=$\sqrt{11}$，AC=5，
∴CM=$\frac{11}{5}$，
∴AM=AC-CM=5-$\frac{11}{5}$=$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力，正确作出辅助线是解题的关键．