Question

19．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转直至ON边第一次重合在直线AD上，整个过程时间记为t秒．

（1）从旋转开始至结束，整个过程共持续了9秒；
（2）如图2，旋转三角板MON，使得OM、ON在直线OC的异侧，请直接写出∠CON与∠AOM数量关系；
如图3，继续旋转三角板MON，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
（3）若在三角板MON旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转，当ON边第一次重合在直线AD上时两三角板同时停止．
①试用字母t分别表示∠AOM与∠AOC；
②在旋转的过程中，当t为何值时OM平分∠AOC．

Answer 1

分析 （1）根据∠NOD=90°即可解决问题；
（2）①结论：∠CON-∠AOM=45°；由∠CON=90°-∠COM，∠AON=45°-∠COM，可得∠CON-∠AOM=（90°-∠COM）-（45°-∠COM）=45°
②如图3中，结论仍然成立．证明方法类似；
（3）①∠AOM=10°t，∠AOC=12°t+45°；
②由OM平分∠AOC，可得∠AOC=2∠AOM，由此列出方程12°t+45°=2•10°t，即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵∠MON=∠NOD=90°，
∴t=$\frac{90}{10}$=9s．
故答案为9．

（2）①结论：∠CON-∠AOM=45°；
理由：如图2中，


∵∠CON=90°-∠COM，∠AON=45°-∠COM，
∴∠CON-∠AOM=（90°-∠COM）-（45°-∠COM）=45°
②如图3中，结论仍然成立．

理由：∵∠CON=90°+∠COM，∠AOM=45°+∠COM，
∴∠CON-∠AOM=（90°+∠COM）-（45°+∠COM）=45°．

（3）①∠AOM=10t，∠AOC=12t+45；
②∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOM，
∴12t+45°=2×10t，
解得：t=$\frac{45}{8}$，
∴当t为$\frac{45}{8}$s时OM平分∠AOC．

点评 本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．