Question

4．对勾函数y=x+$\frac{1}{x}$具有以下性质：当x≥1时，y随x增大而增大，如：2≤x≤4，那么x=2，y有最小值2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；当x=4时，y有最大值为4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$．
请根据上述材料，完成一下问题：
（1）当3≤x≤5时，求函数y=x+$\frac{1}{x}$的最大值和最小值．
（2）0≤x≤2时，求函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，把x=3代入求得最小值，把x=5代入求得最大值即可；
（2）函数y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2可以变形成y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-3，根据x的范围，求得x²+1的范围，即可求解．

解答 解：（1）当x=3时，y有最小值是3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$；
当x=5时，y有最大值是5+$\frac{1}{5}$=$\frac{26}{5}$；
（2）y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2，即y=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-3，
当0≤x≤2时x²+1的范围是：1≤x²+1≤5．
则当x²+1=1时，y有最小值是1+1-3=-1；
当x²+1=5时，y有最大值是5+$\frac{1}{5}$-3=$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数的性质，正确理解y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$-2与y=x+$\frac{1}{x}$之间形式上的关系是关键．