我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值.此时的点称为函数的零点．例如.对于函数y=x-1.令y=0.可得x=1.我们就说1是函数y=x-1的零点值.点(1.0)是函数y=x-1的零点．已知二次函数y=kx2-x+3k+3．(1)若函数的两个零点都是整数点.求整数k的值,的条件下.二次函数的两个零点分别是点A.B.将直线y=-kx向下平移n� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点值，点（1，0）是函数y=x-1的零点．已知二次函数y=kx²-（4k+1）x+3k+3．
（1）若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值；
（2）当k＜0时，在（1）的条件下，二次函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），将直线y=-kx向下平移n个单位得直线l，若点B关于直线l的对称点C（异于点B）仍在二次函数上，求直线l的解析式；
（3）在（2）中，记二次函数图象在直线l上方部分为G，线段EF=3且在直线l上，点M在图象G上运动，求△MEF面积的最大值．

分析（1）令y=0，可解得x的值，由函数的两个零点都是整数点，可得$\frac{1}{k}$是整数，即可得出k的值；
（2）由k＜0，可得抛物线及一次函数的关系式，由二次函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），可得A，B坐标，由y=-kx向下平移n个单位，可得l的解析式为y=x-n，由点B关于直线l的对称点C（异于点B），l⊥BC，设直线BC的解析式为y=-x+m，把点B（3，0）代入可得m的值，可得出直线BC的解析式为y=-x+3，直线BC的解析式与抛物线联立列出方程解得x，y，可得出C的坐标，可得出线段BC的中点坐标，把（2，1）代入y=x-n，得1=2-n，解得n=1．即可得出l的解析式；
（3）确定当直线平行于l且与抛物线有一个交点时，△MEF面积的最大值，设G所在的直线为y=x+b，由△=0，解得b的值，可得G所在的直线为y=x+1，利用△MNQ是等腰直角三角形，可得出平行线间的距离，利用S_△MEF=$\frac{1}{2}$EF•MN求解即可．

解答解：（1）令y=0，得kx²-（4k+1）x+3k+3=0，解得x=$\frac{4k+1±\sqrt{（4k+1）^{2}-4k（3k+3）}}{2k}$，
∴x=3或x=1+$\frac{1}{k}$，
∵函数的两个零点都是整数点，
∴$\frac{1}{k}$是整数，
∴k=±1．
（2）∵当k＜0，
∴k=-1．
∴y=-x²+3x，y=4x+3，
∵二次函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），
∴A（0，0），B（3，0），
∵y=-kx向下平移n个单位，
∴l的解析式为y=x-n，
∵点B关于直线l的对称点C（异于点B），
∵l⊥BC，
∴设直线BC的解析式为y=-x+m，
把点B（3，0）代入得0=-3+m，解得m=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
直线BC的解析式与抛物线联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x^2+3x}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，2），
线段BC的中点坐标为（$\frac{1+3}{2}$，$\frac{0+2}{2}$），即（2，1），
把（2，1）代入y=x-n，得1=2-n，解得n=1．
∴l的解析式为y=x-1；
（3）如图，过点G的直线MG交y轴于点M，作MN⊥l交l于点N，

当直线平行于l且与抛物线有一个交点时，△MEF面积的最大值．
设G所在的直线为y=x+b，与y=-x²+3x联立得x+b=-x²+3x，化简得x²-2x+b=0，
△=4-4b=0，解得b=1，
∴G所在的直线为y=x+1，
∴MQ=1-（-1）=2，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴MN=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△MEF=$\frac{1}{2}$EF•MN=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．