Question

7．如图．四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DE⊥BC于E，CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠ACB=60°，CE=1，求直径AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据角之间的互余关系可得∠ODE=∠DEC=90°，故DE⊥OD，即DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△CED中，∠CED=90°，∠EDC=30°，有CD=2CE；在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，有AC=2CD=4CE，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCA=∠ECD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠ECD，
∴OD∥BE．
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°．
∵∠BCA=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACE=120°．
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ECD=60°．
∴∠CAD=∠EDC=30°．
∵在Rt△CED中，∠CED=90°，∠EDC=30°，
∴CD=2CE．
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AC=2CD=4CE．
∵CE的长是1cm，
∴AC的长是4cm．

点评 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．