Question

3．已知关于x的方程ax²-x=$\frac{2}{a}$，其中a≠0．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根均为整数，求整数a的值，并求出方程的根．

Answer 1

分析 （1）将原方程变形为一元二次方程的一般式，根据a≠0结合根的判别式即可得出△=9＞0，由此即可证得结论；
（2）设方程的两个根分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），由求根公式表示出来x₁=$\frac{1-3}{2a}$，x₂=$\frac{1+3}{2a}$，再根据x₁、x₂、a均为整数，即可求出a的值，将其代入求根公式中即可得出方程的解．

解答 （1）证明：方程ax²-x=$\frac{2}{a}$可变形为方程ax²-x-$\frac{2}{a}$=0，
∵a≠0，△=（-1）²-4a×（-$\frac{2}{a}$）=9＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：设方程的两个根分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），
则x₁=$\frac{1-3}{2a}$=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{1+3}{2a}$=$\frac{2}{a}$，
∵x₁、x₂、a均为整数，
∴a=±1．
当a=1时，x₁=-1，x₂=2；
当a=-1时，x₁=1，x₂=-2．

点评 本题考查了根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）找出△=9＞0；（2）根据x₁、x₂、a均为整数确定a的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．