Question

已知：如图在平面直角坐标系中，直线y=-x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，直线y=3x+3交x轴于点A，M为第一象限内一点，其坐标为（1，1），过点M的直线交AB于E，交BC于F．
问：△BEF能否与△ABC相似？若能，求E（m，0）的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：过点M作直线EF，当∠BEF=∠BAC时，可得出△BEF∽△BAC，设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），由AC∥EF可得出k=3，再根据直线EF过点M（1，1）可得出k、b的值，进而得出其解析式，再把y=0代入求出x的值即可；当∠BEF=∠BCA时，可得△BEF∽△BCA，设△ABC中AC上的高为h，根据三角形的面积得出h的值，故可得出sin∠BCA，sin∠BEN的表达式，故可得出ME的值，再根据勾股定理得出EN²的值，进而可得出结论．

解答：解：能．
当∠BEF=∠BAC时，AC∥EF，
∵∠B是公共角，
∴△BEF∽△BAC，
设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AC的解析式为y=3x+3，AC∥EF，
∴k=3，
∵直线EF过点M（1，1），
∴k+b=1，
∴b=1-k=1-3=-2，
∴直线EF的解析式为y=3x-2，
∵当y=0时，x=

2

3

，
∴E（

2

3

，0）；
当∠BEF=∠BCA时，如图所示，
∵∠B为公共角，
∴△BEF∽△BCA，
∵S_△ABC=

1

2

×4×3=6，
设△ABC中AC上的高为h，则h=

2S

AC

=

2×6

10

=

6 10

5

，
sin∠BCA=

h

BC

=

6 10 5

3 2

=

2 5

5

，
∵sin∠BEN=

1

ME

，
∴

1

ME

=

2 5

5

，解得ME=

5

2

，
∵EN²=ME²-MN²=

5

4

-1=

1

4

，
∴EN=

1

2

，
∴OE=

1

2

，
∴E（

1

2

，0）．
综上所述，E点坐标为（

2

3

，0）或（

1

2

，0）．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、一次函数的性质等知识，难度适中．