Question

【题目】如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．

（1）求证：EF＝BF；

（2）求证：BC是⊙O的切线．

（3）若AB＝4，BC＝3，求DE的长，

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）0.8．

【解析】

根据三角形ABF中AB 为圆的直径，且点F为圆上的点，则AF与BF垂直可解答第一问；根据第一问中的AF与BF垂直，还有题意中的∠BAC＝2∠CBE可以证明∠ABD为直角；根据图中的△ABD∽△ACB直接可以解答第三问.

（1）证明：∵AE＝AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∵AB为⊙O的直径，

∴AF⊥BE，

∴EF＝BF；

（2）证明：∵AE＝AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE＝（180°﹣∠BAC＝）＝90°﹣∠BAC，

∵∠BAC＝2∠CBE，

∴∠CBE＝∠BAC，

∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝（90°﹣∠BAC）+∠BAC＝90°，

即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（3）解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ADB＝∠ABC，

∵∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝5，

∴

AD＝3.2，

∵AE＝AB＝4，

∴DE＝AE﹣AD＝4﹣3.2＝0.8．