Question

19．如图，在正方形ABCD中，AB=1，以对角线AC的一半AE为边作第二个正方形AFBE，再以对角线AB的一半AG作第三个正方形AHFG…若正方形ABCD的边长记为a₁，按上述方法所作的正方形的边长依次记为a₂，a₃，a₄，…，a_n，则a_n=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1．

Answer 1

分析 根据勾股定理分别求出a₁，a₂，a₃的值，据此即可得出规律．

解答 解：根据题意知a₁=1=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁰，
a₂=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a₃=$\frac{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
…
∴a_n=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1，
故答案为：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1．

点评 本题主要考查图形的变化规律及勾股定理得运用，根据题意列出a₁，a₂，a₃的值是发现规律的关键．