Question

14．四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，垂足为点E，连接DE，若△DEC是等边三角形，AD=$\sqrt{7}$，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 设CE=x，先利用等边三角形的性质得CE=CD=a，∠DCE=60°，再利用平行四边形的性质得AB=CD=x，AB∥CD，则根据平行线的性质得∠ABC=∠DCE=60°，于是利用含30度的直角三角形三边的关系得到AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，然后利用勾股定理得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+a²=（$\sqrt{7}$）²，解方程求出a可得到AC和BE的长，再利用三角形面积公式求?ABCD的面积．

解答 解：设CE=x，
∵△DEC是等边三角形，
∴CE=CD=a，∠DCE=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=x，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△BCE中，∵BE²+CE²=BC²，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+a²=（$\sqrt{7}$）²，解得a₁=2，a₂=-2（舍去），
∴AC=AE+CE=$\frac{1}{2}$a+a=$\frac{3}{2}$a=3，BE=$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面积=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．解决本题的关键是利用等边三角形的性质和平行四边形的性质用CE的长表示AE、BE．