Question

13．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（0，3）、（4，0）、（$\frac{7}{4}$，0）．

Answer 1

分析 分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．

解答 解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵点C是AB的中点，
∴AC=5，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{AP}{10}$，
∴AP=$\frac{25}{4}$，
∴OP=OA-AP=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
此时P点坐标为（$\frac{7}{4}$，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（$\frac{7}{4}$，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（$\frac{7}{4}$，0）

点评 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．