Question

17．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．
（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．

Answer 1

分析 （1）按照作角平分线的方法作出即可；
（2）①先求得AC∥OD，然后根据圆周角定理求得∠ACB=90°，即可证得；②根据勾股定理求得BF，即CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得$\frac{EF}{CE}$=$\frac{FD}{AC}$=$\frac{3}{4}$，即可求得$\frac{EF}{CF}$=$\frac{3}{7}$，继而求得EF的长．

解答 解：（1）尺规作图如图1所示：
（2）①如图2，∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D，
∴∠CAD=∠D，
∴AC∥OD，
∴∠ACB=∠OFB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OFB=90°，
∴OD⊥BC；
②∵AC∥OD，
∴$\frac{OF}{AC}$=$\frac{OB}{AB}$，即$\frac{OF}{4}$=$\frac{5}{10}$，
∴OF=2，
∵FD=5-2=3，
在RT△OFB中，BF=$\sqrt{O{B}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵OD⊥BC，
∴CF=BF=$\sqrt{21}$，
∵AC∥OD，
∴△EFD∽△ECA，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{FD}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{3}{7}$，
∴EF=$\frac{3}{7}$CF=$\frac{3}{7}$×$\sqrt{21}$=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了尺规作图、圆周角定理和勾股定理、平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．