Question

8．如图所示，A，B两村在某条河的同侧，以河岸为x轴，建立直角坐标系，A，B两村相对应的坐标为（0，1），（4，2）（长度单位为km）．现在要在河岸的P点处直接向A，B两村送水，则点P选在何处才能使所用的水管最短？试写出点P的坐标及所需水管的长度．

Answer 1

分析 作A关于x轴的对称点A′，则A′坐标为（0，-1），连接A′B，与x轴的交点即P点．然后根据A′、B的坐标通过待定系数法求得直线A′B的解析式，即可求得P的坐标．作BC⊥y轴于C，在Rt△A′BC中，根据勾股定理即可求得水管最短的长度．

解答 解：作A关于x轴的对称点A′，则A′坐标为（0，-1）．
连接A′B，与x轴的交点即P点．
∵PA=PA′，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B（水管最短）．
因为A′（0，-1），B（4，2），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，交点$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直线A′B的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-1，
令y=0，则0=$\frac{3}{4}$x-1，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴P点坐标为（$\frac{4}{3}$，0）．
作BC⊥y轴于C，
在Rt△A′BC中，A′C=3，BC=4，
所以A′B=$\sqrt{A{′C}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
即水管最短的长度为5km．

点评 本题考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，在平面直角坐标系中用轴对称和勾股定理求最短距离，待定系数法求一次函数解析式．此类题型是个重点也是难点，需要掌握．