Question

7．如图、在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，过E作
EF⊥BC交BC于F．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD=5，CF=3，tan∠ADE=$\frac{3}{4}$，求CD．

Answer 1

分析 （1）根据已知和等腰三角形的性质可得到∠OED+∠DEF=90°，即OE⊥EF，即可证得EF是⊙O的切线；
（2）根据已知求得AE=3，利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例求得BE，进而即可得到CD．

解答 证明：（1）EF是⊙O的切线，理由如下：
连接OE，
∵AD是直径，
∴∠OED+∠OEA=90°，
∵OA=OE，AD=BC，
∴∠OEA=∠A=∠B．
∴∠A=∠B=∠DEF．
∴∠OED+∠DEF=90°
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AD=5，tan∠ADE=$\frac{3}{4}$，
∴AE=3，DE=4，
∵∠DEF+∠FEB=90°，∠A+∠ADE=90°，∠A=∠B=∠DEF．
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{BE}{AD}$．即$\frac{2}{3}$=$\frac{BE}{5}$，
∴BE=$\frac{10}{3}$，
∴CD=$\frac{10}{3}$-3=$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．