Question

16．如图，在△ABC中，∠A=∠α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=∠β．是试求下列各图中∠α与∠β的关系，并选择一个加以证明．
图（1）中∠α与∠β的关系是β=90°+$\frac{1}{2}$α
图（2）中∠α与∠β的关系是β=$\frac{1}{2}$α
图（3）中∠α与∠β的关系是β=90°-$\frac{1}{2}$α

Answer 1

分析 （1）可以把∠A=α，作为已知，求∠P即可．根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解；
（2）（3）解法相同．

解答 解：在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
∴β=90°+$\frac{1}{2}$α．
故答案为：β=90°+$\frac{1}{2}$α．

如图（2），结论：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．
∴β=$\frac{1}{2}$α；
故答案为：β=$\frac{1}{2}$α；

如图（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α，
即β=90°-$\frac{1}{2}$α．
故答案为：β=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义，正确利用角平分线的性质是解题关键．