Question

如图，已知点A（2，0）、B（0，4），一点P距离O点2t个单位（0＜t＜2），过点P作平行于AB的直线交x轴于点Q．
（1）用含t的代数式表示点Q的坐标；
（2）若∠AOB的平分线交AB于C，求出C点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设OA的中点为M，点Q在线段OM上，若△PQC的面积为

5

9

，求此时t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）易证△OPQ∽△OBA，根据相似三角形相似比可解本题；
（2）根据A、B点可以求出直线AB的解析式，即可求得点C的坐标；
（3）过O作直线l∥AB，作CE⊥l，可以求得CD的长（用t表示），再根据相似三角形对应边比例相等的性质可以求得t的值．

解答：解：（1）∵PQ∥AB
，∴△OPQ∽△OBA，
∴

OP

OB

=

OQ

OA

，
∴点Q横坐标为t，
∴点Q坐标为（t，0）；
（2）∵∠AOB的平分线交AB于C，
∴C到OB、OA的距离相等
设C横坐标为x，则纵坐标为x，
∵直线AB经过A、B两点，
∴直线AB解析式为y=-2x+4，
∵点C在直线AB上，
∴x=-2x+4，x=

4

3

，
∴C点坐标为（

4

3

，

4

3

）；
（3）过O作直线l∥AB，作CE⊥l，则

设OA的中点为M，点Q在线段OM上，
则0＜t＜1，
∵DE=

OP•OQ

PQ

=

2 5 t

5

，
∵

DE

DC

=

OQ

QA

，
∴CD=

2 5 (2-t)

5

∵△PQC的面积为

5

9

=

1

2

•

5

t•CD，
化简得t（2-t）=

5

9

，
解得t=

1

3

或

5

3

（不满足题意，舍去），
∴t=

1

3

．

点评：本题考查了一次函数在平面直角坐标系中的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了直线解析式的求解．