Question

如图，已知直线y=（1-k）x+k（k＜1）与双曲线y=

6

x

在第一象限和第三象限分别交于点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），分别由A、B向x轴引垂线，垂足为M、N，连接A、M、B、N，当四边形AMBN的面积取得最小值时，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：根据反比例函数与一次函数图象的交点问题得到（1-k）x+k=

6

x

的两根为x₁，x₂，整理得到一元二次得方程（1-k）x²+kx-6=0，根据根与系数的关系得x₁+x₂=

k

k-1

，x₁•x₂=

6

k-1

，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到x₁•y₁=6，x₂•y₂=6，y₁=

6

x1

，y₂=

6

x2

，然后根据三角形面积公式得到四边形AMBN的面积=

1

2

MN（AM+BN）=

1

2

（x₁-x₂）（y₁-y₂），再消去y₁与y₂得到四边形AMBN的面积=

1

2

[12-6×

(x1+x2)2-2x1x2

x 1x2

]，利用整体代入的方法得到四边形AMBN的面积=

1

2

[12-6×

k2

6(k-1)

+12]=12+

k2

2(1-k)

，接着根据k＜1可讨论得到当

k2

2(1-k)

=0时，四边形AMBN的面积最小，得到k=0．

解答：解：∵直线y=（1-k）x+k与双曲线y=

6

x

相交点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），
∴（1-k）x+k=

6

x

的两根为x₁，x₂，
变形得到一元二次得方程（1-k）x²+kx-6=0，
∴x₁+x₂=

k

k-1

，x₁•x₂=

6

k-1

，
又∵点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂）在反比例函数y=

6

x

上，
∴x₁•y₁=6，x₂•y₂=6，y₁=

6

x1

，y₂=

6

x2

，
∴四边形AMBN的面积=S_△AMN+S_△BMN
=

1

2

MN（AM+BN）
=

1

2

（x₁-x₂）（y₁-y₂）
=

1

2

（x₁y₁-x₁y₂-x₂y₁+x₂y₂）
=

1

2

（12-x₁y₂-x₂y₁）
=

1

2

（12-

6x1

x2

-

6x2

x1

）
=

1

2

[12-6（

x12+x22

x 1x2

）]
=

1

2

[12-6×

(x1+x2)2-2x1x2

x 1x2

]
=

1

2

[12-6×

k2

6(k-1)

+12]
=12-

k2

2k-2

=12+

k2

2(1-k)

，
∵k＜1，即1-k＞0，
而k²≥0，
∴

k2

2(1-k)

≥0，
∴当

k2

2(1-k)

=0时，四边形AMBN的面积最小为12，此时k=0．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握解决反比例函数与一次函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数的关系和非负数的性质；加强代数式的变形能力的训练．