Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB边的中点，D、E分别在AC、BC上，∠EOD=90°，DF∥BC交AB于点F，连接EF、OC．
（1）如图1，求证：四边形DCEF是矩形；
（2）如图2，若∠COE=22.5°，写出图中长度等于EF的线段．（CD除外）

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到CO=$\frac{1}{2}$AB=AO=BO，根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠B=45°，OC⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，推出∠AOD=∠COE，根据全等三角形的性质得到AD=CE，根据平行线的性质得到∠ADF=90°，推出DF=AD=CE，得到四边形DCEF是平行四边形，于是得到结论；
（2）由江西的性质得到EF⊥BC，推出△BEF是等腰直角三角形，得到EF=BE，根据等腰三角形的判定即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，O是AB边的中点，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=AO=BO，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，OC⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠A=∠BCO，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOD+∠DOC=∠COE+∠DOC，
∴∠AOD=∠COE，
在△ADO与△CEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OCE}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△CEO，
∴AD=CE，
∵DF∥BC，
∴∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴DF=AD=CE，
∴四边形DCEF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形DCEF是矩形；
（2）解：∵四边形DCEF是矩形；
∴EF⊥BC，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∵∠COE=22.5°，
∴∠EOB=67.5°，
∴∠OEB=67.5°，
∴∠BOE=∠BEO，
∴BE=BO，
∴EF=BE=BO=AO=CO，
∴图中长度等于EF的线段是BE，BO，AO，CO．

点评 本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．