Question

7．已知$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=4，xy=-1，则$\frac{1}{{x}^{4}}$-$\frac{1}{{y}^{4}}$=112$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=4，xy=-1求出$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=14，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=2$\sqrt{3}$，代入原式进行计算即可．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=4，xy=-1，
∴（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$）²=16，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=16-2=14，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\sqrt{{（\frac{1}{x}-\frac{1}{y}）}^{2}+\frac{4}{xy}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴原式=（$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）
=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）
=2$\sqrt{3}$×4×14
=112$\sqrt{3}$．
故答案为：112$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．