Question

11．如图，抛物线C₁：y=a（x-1）²经过点A（3，4）．
（1）求a的值；
（2）将抛物线C₁向下平移k（k＞0）个单位后，得到抛物线C₂，且C₂经过点B（3，0），求k的值及C₂的解析式；
（3）设抛物线C₂角y轴于点D，点P是抛物线C₂的对称轴上一点，且△PBD为直角三角形，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定抛物线C₂的顶点坐标；结合图形确定n的取值范围即可．
（3）设出点P的坐标，表示出PB²，PD²，BD²，分三种情况用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y=a（x-1）²经过点A（3，4）．
∴4=a（3-1）²，
解得a=1，

（2）抛物线C₁向下平移k（k＞0）个单位后，得到抛物线C₂，为y=（x-1）²-k，
∵C₂经过点B（3，0），
∴0=（3-1）²-k，
解得：k=4，
∴C₂的解析式为y=（x-1）²-4；

（3）由（2）可知，抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为x=1，
设点P（1，m），
令x=0，则y=-3，
∴D（0，-3），
∵B（3，0），
∴PB²=4+m²，PD²=1+（m+3）²，BD²=3²+3²=18，
∵△PBC为直角三角形，
①当∠DPB=90°时，
∴PB²+PD²=BD²，
∴4+m²+1+（m+3）²=18，
∴m₁=1，m₂=-2，
∴P（1，1），或P（1，-2），
②当∠PBD=90°时，
∴PB²+BD²=PD²，
∴18+4+m²=1+（m+3）²，
∴m=2，
∴P（1，2），
③当∠PDB=90°时，
∴PB²=BD²+PD²，
∴4+m²=1+（m+3）²+18，
∴m=-4，
∴P（1，-4），
∴使△PBD为直角三角形的点P坐标P（1，1）或P（1，-2）或P（1，2）或P（1，-4）．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，题目中还渗透了数形结合的数学思想，这也是中考中常常出现的重要的数学思想，应加强此类题目的训练．