Question

20．定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
（1）已知ax²+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；
（2）已知关于x的方程m（x²+1）-3x²+nx=0是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据“凤凰”方程得：a+b+c=0①，根据有两个相等的实数根得△=0②，①②式结合得：a=c；
（2）先将原方程化简为一般形式，再将x=1代入得：n=3-2m；计算△=9，所以方程有两个不相等实根，且是整数，根据求根公式求出x的值，利用已知条件求出整数m的值．

解答 解：（1）由题意得：a+b+c=0，b=-a-c，
∵ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=0，
把b=-a-c代入到b²-4ac=0中得：（-a-c）²-4ac=0，
（a-c）²=0，
∴a=c；
（2）m（x²+1）-3x²+nx=0，
（m-3）x²+nx+m=0，
当x=1时，2m-3+n=0，n=3-2m，
△=n²-4m（m-3）=n²-4m²+12m=（3-2m）²-4m²+12m=9，
∴x=$\frac{-n±\sqrt{9}}{2（m-3）}$=$\frac{-n±3}{2m-6}$=$\frac{2m-3±3}{2m-6}$，
x₁=$\frac{m}{m-3}$，x₂=1，
因为方程两个实数根都是整数，
∴整数m为0或2或4或6．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，也属于新概念问题；给出一个新概念-“凤凰”方程，根据“凤凰”方程解决相应问题；熟练掌握一元二次方程的求根公式，并熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．