Question

9．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°，得出线段BE，连接AE，若AB=2cm，CD=3cm，过B点作BF⊥AB，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，试求△ABE的面积．

Answer 1

分析 求出四边形ABFD是矩形，根据矩形的对边相等可得AB=DF=2，然后求出CF=1，再求出∠FBC=∠EBG，然后利用“角角边”证明△FBC和△GBE全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=CF=1，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：如图：

∵AB⊥AD，CD⊥AD，BF⊥DC，
∴∠D=∠BAD=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD，AB=DF=2，∠BFC=∠FBG=90°，
∵DC=3，DF=2，
∴CF=DC-DF=3-2=1，
∵BC以点B为旋转中心，逆时针方向旋转90°至点E，
∴∠CBE=90°，BC=BE，
∵∠ebc=∠fbg=90°，
∴∠CBF=∠EBG=90°-∠CBG，
∴∠CDF=∠EDG，
在△BFC和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠G}\\{∠FBC=∠EBG}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△BGE（AAS），
∴EG=CF=1，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$AB•EG=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

点评 本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．