Question

8．如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．
（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有3个，分别是Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得到Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF均与Rt△BCP相似；
（2）Rt△BCP∽Rt△EPB．利用“两角法”证得结论即可．

解答 解：（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有 3个，分别是 Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
故答案是：3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；

（2）答案不唯一，如：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP+∠PBC=∠C=90°．
∵∠PBC+∠BPC=90°，
∴∠ABP=∠BPC．
又∵∠BPE=∠C=90°，
∴Rt△BCP∽Rt△EPB．

点评 本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质．相似三角形的判定方法：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．