Question

3．已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，若直径AB的长为4，且BC=2，∠DAC=15°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据含30°角的直角三角形性质求出∠CAB，即可得出答案；
（2）连接OD，求出∠DOA，分别求出扇形AOD和△AOD面积，即可得出答案．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵BC=2，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAB=DAC+∠BAC=15°+30°=45°；

（2）连接OD，
∵直径AB=4，
∴半径OD=OA=2，
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠ADO=∠DAB=45°，
∴∠AOD=90°，
∴阴影部分的面积S=S_扇形AOD-S_△AOD=$\frac{90×π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2=π-2．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形性质，扇形的面积计算，圆周角定理等知识点，能求出∠CAB=30°和∠AOD=90°是解此题的关键．