Question

如图①，在△ABC中，∠A=50°，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．
（1）填空：∠ABC+∠ACB=

 

，∠PBC+∠PCB=

 

；
（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，请写出你的结论；
（3）如图②，改变直角三角尺PMN的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）已知∠A=50°，根据三角形内角和定理易求∠ABC+∠ACB的度数．已知∠P=90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC+∠PCB的度数；
（2）由（1）中∠ABC+∠ACB的度数，∠PBC+∠PCB的度数，相减即可得到∠ABP与∠ACP之间的数量关系；
（3）发生变化，由于在△ABC中，∠A=50°，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于140°，同理在△PBC中，∠BPC=90°，那么∠PBC+∠PCB=90°，于是∠ACP-∠ABP=130°-90°=40°．

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=130°；∠PBC+∠PCB=90°．

（2）∠ABP+∠ACP=40°．
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP
=（∠ABC-∠PBC）+（∠ACB-∠PCB）
=（∠ABC+∠ACB）-（∠PBC+∠PCB）
=130°-90°
=40°．

（3）发生变化．
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，（三角形内角和180°）
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，（三角形内角和180°）
∴∠ACP-∠ABP=130°-90°=40°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．注意运用整体法计算．关键是求出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB的度数．