Question

18．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA₁⊥x轴于A₁，BB₁⊥x轴于B₁，求线段A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先将两函数联立得出ax²-2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（2）利用线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的平方，以及a，b，c的符号得出|A₁B₁|的范围即可．

解答 解：（1）联立方程得：ax²+2bx+c=0，
△=4（a²+ac+c²），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，则
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
=（-$\frac{2b}{a}$）²-$\frac{4c}{a}$=$\frac{4{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}$=$\frac{4（-a-c）^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
=4[（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$+1]，
=4[（$\frac{c}{a}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
此时3＜A₁B₁²＜12，
∴$\sqrt{3}$＜|A₁B₁|＜2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式等知识，熟练利用根的判别式以及两点之间的距离是解题关键．