Question

6．如图，D、E分别是等边△ABC的边AC、BC所在直线上的两点，且AD=CE，连BD、DE．
（1）如图1，D在线段AC上，E在线段BC的延长线上；
①求证：DB=DE；②作DH⊥BC于H，∠BDE=90°，求证：BD=$\sqrt{2}$DH；
（2）如图2，D在线段CA的延长线上，E在线段BC上，DE交AB于F点，∠CDE=15°，求证：BD=$\sqrt{2}$BF；
（3）如图3，D在线段AC上，E在线段BC的延长线上，且CD=2CE，S_△ABC=8，请直接写出△BDE的面积为$\frac{64}{9}$．

Answer 1

分析 （1）①证明：如图1中，作DK∥BC交AB于K．只要证明△DKB≌△ECD即可解决问题；
②只要证明△DBH是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图2中，作BN∥DE，DN∥EB，则四边形BEDN是平行四边形，作BH⊥DE于H，FM⊥BN于M．连接FN．想办法证明△BFN是等腰直角三角形即可解决问题；
（3）如图3中，作DH∥BC交AB于H．由（1）可知△DHB≌△ECD，推出S_△BDH=S_△CDE，推出S_△BDE=S_{四边形DHBC}，由DH∥BC，可得△ADH∽△ACB，推出$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²，求出△ADH的面积即可解决问题；

解答 （1）①证明：如图1中，作DK∥BC交AB于K．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AKD=∠ABC=60°，∠ADK=∠ACB=60°，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=DK=AK=CE，
∴BK=CD，∵∠DKB=∠DCE=120°，
∴△DKB≌△ECD，
∴BD=ED．

②如图1中，∵BD=DE，∠BDE=90°，
∴∠DBH=45°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB=90°，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$DH．

（2）证明：如图2中，作BN∥DE，DN∥EB，则四边形BEDN是平行四边形，作BH⊥DE于H，FM⊥BN于M．连接FN．

同法可证：BD=DE，
∴BN=DE=BD，
∵∠EDC=15°，∠C=60°，
∴∠DEB=∠DBE=75°，
∴∠BDE=30°，
在Rt⊥BDH中，BH=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠FBE=60°，
∴∠BFE=180°-60°-75°=45°，
∴BH=FH，易证四边形BHFM是正方形，
∴BH=FH=BM=FM=$\frac{1}{2}$BN，
∴BM=MN=FM，
∴△BFN是等腰直角三角形，
∴BN=$\sqrt{2}$BF，
∴BD=$\sqrt{2}$BF．

（3）解：如图3中，作DH∥BC交AB于H．

由（1）可知△DHB≌△ECD，
∴S_△BDH=S_△CDE，
∴S_△BDE=S_{四边形DHBC}，
∵DH∥BC，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²，
∵CD=2CE，AD=CE，
∴CD=2AD，
∴AD：AC=1：3，
∴$\frac{{S}_{△ADH}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²=$\frac{1}{9}$，∵S_△ACB=8，
∴S_△ADH=$\frac{8}{9}$，
∴S_△BDE=S_{四边形DHBC}=8-$\frac{8}{9}$=$\frac{64}{9}$．
故答案为$\frac{64}{9}$．

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．