题目内容
17．如图1，△ABC和△DBE中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D点在AB上，连接AE、DC，求证AE=CD，AE⊥CD．证明：延长CD交AE于点F，∵AB=BC，∠ABC=∠DBE=90°，BE=DB
∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE=CD，∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°，∠ADF=∠CDB．∴∠ADF+∠DAF=90°∴∠AFD=90°，∴AE⊥CD．
类比：
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间的数量和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；如不成立，请说明理由．
拓展：（直接回答问题结果，不要求写结论过程）
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC=∠DBE=90°”改为“∠ABC=∠DBE=α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：
①图3中的线段AE、CD是否仍然相等？
②线段AE、CD的位置关系是否发生改变？若改变，其所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变化，其值多少？
分析 类比：根据∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再证出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOF=∠COB，得出∠FOA+∠FAO=90°，∠AFC=90°，即可证出AE⊥CD；
拓展：①根据∠DBE=∠ABC=α，于是得到∠ABE=∠DBC，推出△AEB≌△CDB，即可得到结论；
②通过△AEB≌△CDB，根据全等三角形的性质得到∠EAB=∠DCB，由对顶角相等得到∠AHF=∠CHB，于是得到∠AFH=∠ABC=α．
解答 解：类比：AE=CD，AE⊥CD，
证明：∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOF=∠COB，
∴∠FOA+∠FAO=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD；
拓展：①AE=CD，
∵∠DBE=∠ABC=α，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD；
②线段AE，CD的位置关系发生改变，其所在直线的夹角大小不随着图形的旋转而发生变化，
∵△AEB≌△CDB，
∴∠EAB=∠DCB，
∵∠AHF=∠CHB，
∴∠AFH=∠ABC=α，
∴线段AE，CD的位置关系发生改变，其所在直线的夹角大小不随着图形的旋转而发生变化．始终为α．
点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．
备战中考寒假系列答案
如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB=2$\sqrt{3}$，OD=4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（ ）| A． | （-$\sqrt{3}$，1） | B． | （-1，$\sqrt{3}$） | C． | （-1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$） | D． | （-$\sqrt{3}$，1）或（1，-$\sqrt{3}$） |
| A． | 7 | B． | 5 | C． | 3 | D． | 1 |
如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．