Question

已知：如图，点C是等腰直角△ABC的直角顶点，DC∥AB，BD=AB，BD交AC于点E，CF⊥AB，垂足为F，求证：
（1）∠ABD=30°；
（2）AD=AE．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,平行线之间的距离,等腰三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：（1）过D作DG垂直于AB，由AB与CD平行，利用平行线间的距离相等得到DG=CF，由CF垂直于AB，且三角形ABC为等腰直角三角形得到CF为斜边AB上的中线，得到AB=2CF，即DB=2DG，即可得证；
（2）由∠AED为三角形AEB外角，求出∠AED=75°，再由三角形ABD为顶角为30°的等腰三角形，求出∠ADE=75°，利用等角对等边即可得证．

解答：证明：（1）过D作DG⊥AB，交AB于点G，
∵DC∥AB，
∴DG=CF，
∵△ABC为等腰直角三角形，且CF⊥AB，
∴CF为斜边AB上的中线，
∴CF=

1

2

AB，
∵AB=BD，
∴DG=

1

2

BD，
则在Rt△BDG中，∠ABD=30°；

（2）∵∠AED为△AEB的外角，且∠EAB=45°，∠DBG=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠DBG=75°，
∵AB=DB，
∴∠BDA=∠BAD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD．

点评：此题考查了等腰直角三角形，平行线间的距离，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．