Question

如图，在平面直角坐标系内，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求该抛物线解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，连接线段BC、BD、CD，求△BCD的面积；
（3）将该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E．若在y轴上存在一点F，连接DF、EF，使四边形BDFE的周长最小，求此最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由在平面直角坐标系内，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx-3与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），可得方程组：

- b 2a =1 a-b-3=0

，解此方程组即可求得答案；
（2）首先求得点B，C，D的坐标，然后由S_△BCD=S_△BDM+S_梯形OCDM-S_△OBC，即可求得答案；
（3）首先可求得BD，BE的长，然后确定县F的位置，继而求得答案．

解答：解：（1）∵在平面直角坐标系内，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx-3与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），
∴

- b 2a =1 a-b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

，
∴该抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∵点D的坐标为：（1，-4），
∵令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
点B与A关于直线x=1对称，
∴点B（3，0），
设直线x=1交x轴于点M，
∴OM=1，BM=3-1=2，DM=4，
∴S_△BCD=S_△BDM+S_梯形OCDM-S_△OBC=

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1-

1

2

×3×3=3；

（3）设平移后的抛物线为：y=x²-2x-3+k，
∵此抛物线过原点，
∴k=3，
∴平移后的解析式为：y=x²-2x，
∴点E（2，0），
∵四边形BDFE的周长为：BD+BE+DF+EF，
其中，BD=

(3-1)2+42

=2

5

，BE=3-2=1，
∴要使得四边形BDFE的周长最小，只需要DF+EF取得最小值，
如图，点E关于y轴的对称点E′（-2，0），连接DE′，交y轴于点F，此时DF+EF最小，
∴DF+EF=DE′=

(1+2)2+42

=5，
∴四边形BDFE的周长的最小值为：2

5

+1+5=6+2

5

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的平移以及周长最短问题．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．