Question

如图，在直角坐标系xOy中，直线L：y=-x-1，双曲线y=

1

x

．在L上取点A，过点A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过点B₁作y轴的垂线交L于点A₂，再过点A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过点B₂作y轴的垂线交L于点A₃，…，这样依次得到L上的点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．记点A_n的横坐标为a_n，若a₁=2，则a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A₁、B₁、A₂、B₂、A₃、B₃…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2014除以3，根据商和余数的情况确定出a₂₀₁₄即可．

解答：解：∵a₁=2，
∴点A₁的纵坐标为-2-1=-3，
点A₁（2，-3），
∵A₁B₁⊥x轴，点B₁在双曲线y=

1

x

，
∴点B₁（2，

1

2

），
∵A₂B₁⊥y轴，
∴点A₂的纵坐标为

1

2

，
-x-1=

1

2

，
解得x=-

3

2

，
∴点A₂（-

3

2

，

1

2

），
同理可求B₂（-

3

2

，-

2

3

），
A₃（-

1

3

，-

2

3

），B₃（-

1

3

，-3），
A₄（2，-3），B₄（2，

1

2

），
…，
依此类推，每3次变化为一个循环组依次循环，
∵2014÷3=671余1，
∴A₂₀₁₄为第672循环组的第一个点，与点A₁重合，
∴a₂₀₁₄=a₁=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．