Question

4．（1 ）将点A（4，0）绕着原点O按顺时针方向旋转30°，则其对应点A′的坐标是（2$\sqrt{3}$，-2）；
（2）将点A（4，0）绕着原点O按逆时针方向旋转60°，则其对应点A″的坐标是（2，2$\sqrt{3}$）；
（3）在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得到的点坐标为（-5，4）．

Answer 1

分析 （1）根据旋转中心为原点，旋转方向顺时针，旋转角度30°，作出点A的对称图形A′，作A′B⊥x轴于点B，利用30°的函数值求得OB，A′B的长，进而根据A′所在象限可得所求点的坐标．
（2）连接OA″，过点A″作A″B′⊥x轴于点B′，根据点A的坐标以及旋转变换的性质可得OA″的长度，∠A″OB′=60°，然后解直角三角形求出OB′、A″B′的长度，从而得解．
（3）首先根据点A的坐标求出OA的长度，然后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得OA′=OA，据此求出点A′的坐标即可．

解答 解：（1）如图1，作A′B⊥x轴于点B，
∵OA′=OA=4，∠AOA′=30°，
∴A′B=$\frac{1}{2}$OA′=2，OB=OA×cos30°=2$\sqrt{3}$．
故答案为：A′（2$\sqrt{3}$，-2）．
（2）如图1，连接OA″，过点A″作A″B′⊥x轴于点B′，
∵点A（4，0），
∴OA=4，
∵点A（4，0）绕着原点O逆时针方向旋转60°角到对应点A″，
∴OA″=OA=4，∠A″OB′=60°，
∴OB′=OA″cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
A″B′=OA″sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
所以，点A″的坐标是（2，2$\sqrt{3}$）．
故答案为（2，2$\sqrt{3}$）．
（3）如图2，过点A作AC⊥y轴于点C，作AB⊥x轴于点B，过A′作A′E⊥y轴于点E，作A′D⊥x轴于点D，
∵点A（4，5），
∴AC=4，AB=5，
∵点A（4，5）绕原点逆时针旋转90°得到点A′，
∴A′E=AB=5，A′D=AC=4，
∴点A′的坐标是（-5，4）．
故答案为：（-5，4）．

点评 此题主要考查了坐标与图形变换-旋转，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．